www.ugle.dk Jørgen Ebert, je@ugle.dk
Hjemmeside   Sange   Matematik   Privat   Links  

Tiden krymper!

Hvis du ikke synes du får så meget ud af tiden som du gjorde i gamle dage, kan det skyldes at tiden krymper. Dagene var længere i gamle dage, og tiden slog bedre til den gang. Men ifølge uret har tiden altid samme hastighed, nemlig 1 time i timen, og alle dage er lige lange. Denne artikel er mit forsøg på at give en matematisk behandling af dette paradoks. Matematikken er forsøgt holdt på et niveau hvor de fleste kan være med.

  1. Først behandles den sædvanlige tidsopfattelse (ækvidistant skala).
  2. Dernæst introduceres en ny tidsopfattelse som er i bedre overensstemmelse med erindringen (logaritmisk skala).
  3. Til slut vandrer vi tilbage i tiden på jagt efter undfangelsens øjeblik.

For god ordens skyld skal nævnes at jeg muligvis tager fejl. Måske husker vi i virkeligheden bare forkert når vi synes at tiden krymper. Eventuelle kommentarer desangående modtages gerne via email.

§1. Ækvidistant tidsopfattelse

Den sædvanlige tidsopfattelse illustreres bedst på en skala hvor lige lange tidsintervaller fremtræder med samme geometriske længde. En sådan skala kaldes en ækvidistant skala:

1. Definition. Ved en ækvidistant skala forstås en skala hvor lige lange intervaller har samme forskel mellem endepunkterne.

En lineal er et simpelt eksempel på en ækvidistant skala. På tegningen herunder har intervallet fra 10 til 40 samme geometriske længde som intervallet fra 20 til 50. Dette stemmer med at de to intervaller har samme forskel mellem endepunkterne idet 40-10 = 30 og 50-20 = 30.

Normal skala

Hvis man vil finde midtpunktet af et interval på en ækvidistant skala, kan man benytte følgende sætning:

2. Sætning. Midtpunktet af et interval på en ækvidistant skala er halvdelen af endepunkternes sum.

For at bevise sætningen lader vi a, b og x betegne henholdsvis endepunkterne og midtpunktet af et vilkårligt interval på en ækvidistant skala. Vi skal blot bevise at x = (a+b)/2. Situationen er som på tegningen herunder:

Interval

Da intervallet fra a til x er lige så langt som intervallet fra x til b, har de to intervaller ifølge definition 1 samme forskel mellem endepunkterne. Det vil sige at x-a = b-x. Ved at addere x og a på begge sider af ligningen fås 2x = a+b. Når begge sider af ligningen divideres med 2, fås det ønskede resultat, x = (a+b)/2. Hermed er sætningen bevist.

Midtpunktet (a+b)/2 kaldes det aritmetiske gennemsnit af a og b. Eksempelvis er det aritmetiske gennemsnit af 31 og 59 lig med (31+59)/2 = 90/2 = 45.

Lad os vende tilbage til tiden, og lad os som eksempel tage en fiktiv 75-årig pensioneret ingeniør, hr. Theodor Jørgensen, hvis karriere hidtil har været:

Af hensyn til overskueligheden har vi set bort fra en lang række vigtige tidspunkter i Jørgensens liv, som for eksempel da han blev gift og da hans tre børn blev født. Theodor Jørgensens karriere tager sig således ud på en ækvidistant skala:

Normal livsskala

Det ses tydeligt at Jørgensen har været ingeniør en stor del af sit liv. Barndommen fylder derimod ikke meget på skalaen. Livets midtpunkt er ifølge sætning 2 lig med (0+75)/2 = 37,5 år. Men der er een ting i vejen: Billedet stemmer slet ikke med Theodor Jørgensens egen opfattelse af sit liv! Når han tænker tilbage, synes han at de 10 års skolegang fylder mindst lige så meget i erindringen som de 35 år som ingeniør. Han husker ganske tydeligt klassekammeraterne fra dengang. Han mindes lærerne og legen i skolegården. Barndommens år fylder meget mere end tegningen giver indtryk af. Konklusionen er altså at den ækvidistante skala er ubrugelig som middel til at måle tiden således som den erindres.

§2. Logaritmisk tidsopfattelse

For en halvtredsårig udgør de sidste ti år en femtedel af livet, medens de for en tyveårig udgør halvdelen. De sidste ti år fylder derfor ikke nær så meget i erindringen hos en halvtredsårig som hos en tyveårig. For at konstruere en skala som tager hensyn til dette fænomen, erstatter vi ordet forskel med forhold i definition 1. Den skala som derved fremkommer, kaldes en logaritmisk skala:

3. Definition. Ved en logaritmisk skala forstås en skala hvor lige lange intervaller har samme forhold mellem endepunkterne.

Nedenfor vises et eksempel på en logaritmisk skala. Intervallet fra 2 til 6 har samme geometriske længde som intervallet fra 10 til 30. Dette stemmer med at de to intervaller har samme forhold mellem endepunkterne idet 6/2 = 3 og 30/10 = 3. Bemærk imidlertid at de to intervaller ikke har samme forskel mellem endepunkterne idet 6-2 = 4 og 30-10 = 20.

Logaritmisk skala

For midtpunktet af et interval på en logaritmisk akse gælder følgende sætning:

4. Sætning. Midtpunktet af et interval på en logaritmisk skala er kvadratroden af endepunkternes produkt.

For at bevise sætningen lader vi a, b og x betegne henholdsvis endepunkterne og midtpunktet af et vilkårligt interval på en logaritmisk skala. Vi skal blot bevise at x=sqr(ab). Situationen er som på tegningen:

Interval

Da intervallet fra a til x er lige så langt som intervallet fra x til b, har de to intervaller ifølge definition 3 samme forhold mellem endepunkterne. Det vil sige at x/a = b/x. Ved at multiplicere begge sider af ligningen med x og a fås x^2=ab. Når man tager kvadratroden på begge sider af ligningen fremkommer det ønskede resultat, x=sqr(ab). Hermed er sætningen bevist.

Midtpunktet sqr(ab) kaldes det geometriske gennemsnit af a og b. Eksempelvis er det geometriske gennemsnit af 4 og 9 lig med sqr(4*9)=sqr(36)=6.

Menneskets erindring bliver ikke nulstillet i fødselsøjeblikket. Nogle psykologer mener at man har en - måske ubevidst - erindring om fostertilværelsen. Længslen efter de svundne, trygge dage i livmoderen skulle for eksempel være begrundelsen for at de fleste finder stor nydelse ved at stå længe under den varme bruser. Hvis vi skal tage højde for en erindring som går tilbage til tiden før fødslen, bliver vi nødt til at acceptere at livet ikke begynder med fødslen, men at man bliver født i en alder af 9 måneder eller 0,75 år. Når man fejrer sin første fødselsdag, er man i virkeligheden 1,75 år gammel etc. Med disse modifikationer kommer Theodor Jørgensens liv til at se således ud på en logaritmisk akse:

Logaritmisk livsskala

Billedet er et ganske andet end det den ækvidistante skala kunne fremvise. Theodor Jørgensens tid som ingeniør fylder omtrent det samme som skoletiden, og barndommen fylder det halve liv, selv om den blev overstået på ganske få år. Det nye billede er med andre ord i bedre overensstemmelse med erindringen. Ved at betragte den logaritmiske tidsskala kan man blandt andet uddrage:

§3. På jagt efter undfangelsens øjeblik

Først er man barn, derefter er man voksen, og til sidst dør man. Tegningen nedenfor viser en meget forenklet illustration af livet således som det tager sig ud på en logaritmisk akse for en person som blev født i en alder af 9 måneder og døde som 75-årig:

Grov logaritmisk livsskala

Barndommen og voksentilværelsen ligner hinanden på den måde at man i begge perioder bliver 10 gange ældre. Det jordiske liv slutter med døden, men der er ikke nogen hindring for at forlænge livsskalaen til venstre. Vi kan endog blive ved i det uendelige med at dividere med 10 uden nogen sinde at finde livets begyndelse. Dette er illustreret på nedenstående tegning:

Dekoreret logaritmisk livsskala

Ud fra ovenstående tegning kan vi opsummere nogle konsekvenser af den logaritmiske tidsopfattelse:


Jørgen Ebert, je@ugle.dk